月犬云盾 原宏杰加密

ElGamal1984年斯坦福大学的公钥密码系统TatherElGamal一种基于离散对数困难的公钥系统。1985年，TatherElGamal利用ElGamal设计公钥密码系统ElGamal数字签名方案是经典的数字签名方案之一，具有很高的安全性和实用性。ElGamal数字签名系统的变体用于数字签名标准DSS中。直到今天，许多新的数字签名方案仍然属于ElGamal数字签名系统的变体或扩展。这就是变体。ElGamal加密算法。

群

群是一个集合G，连同一个操作"·"，它结合了任何两个元素A和b形成另一个元素，记为a·b。符号"·"是给出的具体操作，如加法的一般占位符。要有资格成为一个群体，这个集合和操作(G,·)必须满足四个要求：群公理：

1.封闭性。所有G中的G中。a.b,运算a·b结果也在G中。

2.结合性。独于所有G中的G中的G。a·b和c，等式（a·b）·c=a·（b·c）成立。

3.单位元。G中有一个元素e,使所有G中的元素对齐a，等式e·a=a·e=a成立。

4.反元素。对于每个G中的一个。a,存在于G中的元素B是的a·b=b·a=e，这里的e是单位元。

例如，整数集合和加法运算具有以下性质

任何两个整数a和b，它们的和a+b也是整数。换句话说，在任何时候，加上两个整数都可以得到整数的结果。这种性质被称为在加法下关闭。

任何整数a,b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。用词语表达，先加a到b，然后加上它们的和c，结果和将a添加到b和c和是相等的。这种性质叫做结合律。

如果A是任何整数，那么0+a=a+0=a。零称为加法单位，因为将其添加到任何整数中得到相同的整数。

任何整数a，另一个整数b使另一个整数b存在a+b=b+a=0.整数b被称为整数a的逆元，记为−a。

一组被称为有限组，如果它有有限的元素，元素的数阶被称为群G阶。

例如，模型19下7为3，[1，7，49，343，2401，16807，117649，823543，574801...]={1、11、1、7、11、1、1、7、1、1、1、11...}这里的1、7、11循环，其实只有3个元素 循环群

循环组是其所有元素都是特定元素A的功率组（在组运算被写为加法时使用术语倍数）。在乘法符号下，组的元素为：

...,a−3,a−2,a−1,a0=e,a,a2,a3,...,该元素a称为该组的生成元或原元。

本原元

模n下a的阶m=φ(n)，m是n的原元，如3是19的原元

19是质数，所以φ(19)=18)，模19下3组为：

[1,3,9,27,81,243,729,2187,6561，19683，177141，15943，15943，243，729，6561，1969，1969，177147，17147，17141，159，159，159，243，243，243，243，243，229，21869，1969，1961，19669，1969，1969，1969，19，17，1，1，27，27，27，27，243，243，243，243，243，1，19，19，19，19657，19，1969，19659，17273，2727，27，27，27，27，27，27，27，27，27，27，243，243，243，243，243，243，243，243，243，243，243，243，27，27，27，27，243，243，27，27，27，27，27，27，27，27，29，27，2727，27，27，27，27，27，27，27，27，27，27，27，29，27，27，21，21，21，243，27，27，27，27，27，27，27，27，27，27，27，27，27，27，27，27，21，21，21，21，21，21，21，21，21，21，27，27，21，21，21，21，21，21，21，21，21，21，21，27，27，27，27，27，29，29，29，27，21，21，21，29，2 14348907,43046721,129140163,387420489,1162261467,3486784401L,10460353203L,31381059609L,94143178827L...]

用模19来表示

1、9、8、15、7、2、18、16、11、11、14、17、17、13、13、1、9、15、15、7、2、18、16、16、16、16、111、11、11、14、14、17、17、17、1、17、1、17、1、17、1、1、17、1、1、17、17、17、17、1、17、17、1、17、1、17、1、13、1、1、13、1、13、13、1、1、1、17、1、1、17、1、17、1、1、17、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、L,8L,5L,15L]

循环为1、3、9、8、5、15、7、2、18、16、11、14、12、17、13，因此循环群阶为18，与欧拉函数相等

密钥生成

首先选择一个素数p，两个随机数，g和x，g,xElGamal用于数字签名。签名信息为。M，首先选择一个随机数k,k与p-1互质计算：

a=g^k(modp)

再用扩展Euclidean算法解决以下方程b：

M=xa+kb(modp-1)，签名就是(a,b)。随机数k必须丢弃。

验证时要验证下式：

y^a*a^b(modp)=g^M(modp)

同时一定要检查是否满1满1是否满1是否满1<=aElGamal用于加密。加密信息为加密信息。M，首先选择一个随机数k，k与p-1互质计算：

a=g^k(modp)

b=y^kM(modp)

(a,b)是密文，是明文的两倍长。解密时计算：

M=b/a^x(modp)

ElGamal签名的安全性取决于乘法群(IFp)*上面的离散对数计算。素数p必须足够大，而且，p-至少有一个大素数因子可以抵抗Pohlig&Hellman算法攻击。M一般应采用信息HASH值(如SHA算法)。ElGamal安全主要取决于p和g，如果选择不当，签名很容易伪造，应保证g。p-1大素数因子不能约。